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> Problemas y Ejercicios para Olimpiadas de Matemática


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- [Nueva sección: Problemas para compartir](https://www.revista-matematica.com/nueva-seccion-problemas-para-compartir/): Hola y bienvenido a mi sitio web. Durante muchos años he intentado mantener este sitio activo, con la idea de compartir ejercicios, problemas y teoría que ayuden a los jóvenes que tienen algún interés en las Olimpiadas de Matemática. No ha sido un trabajo sencillo, y por largos periodos de tiempo lo he dejado desatendido, aunque nunca abandonado. Hace unos meses encontré una herramienta que quizá pueda servir para dar mayor dinamismo al sitio web, a la vez que incorpora una mejor participación de los visitantes sin necesidad de comprometerse a ser administradores o autores en el blog. Esta herramienta […]
- [Seis problemas que involucran divisibilidad](https://www.revista-matematica.com/seis-problemas-que-involucran-divisibilidad/): Hoy les dejamos tres problemas propuestos que involucran divisibilidad. Esperamos que los encuentren entretenidos y puedan ejercitar un poco la mente al intentar resolverlos.
- [Problemas para ejercitar la capacidad de realizar planteamientos formales](https://www.revista-matematica.com/problemas-para-ejercitar-la-capacidad-de-realizar-planteamientos-formales/): El objetivo principal de esta serie de ejercicios es retar al estudiante a que encuentre un planteamiento matemático formal que sea equivalente al enunciado, para así despejar la(s) variable(s) y de esta manera llegar a la respuesta deseada.
- [Selección de problemas de geometría para resolver](https://www.revista-matematica.com/seleccion-de-problemas-de-geometria-para-resolver/): A continuación les presentamos una selección de cinco problemas de geometría que se pueden resolver aplicando teoremas básicos relacionados con triángulos.
- [Práctica de selección única](https://www.revista-matematica.com/practica-de-seleccion-unica/): Los siguientes ejercicios se componen de una pregunta básica, seguida de varias posibles respuestas, de las cuales sólo una es la verdadera.
- [Sobre los métodos para resolver problemas geométricos](https://www.revista-matematica.com/sobre-los-metodos-para-resolver-problemas-geometricos/): Al resolver problemas geométricos, por regla, se emplean cinco métodos fundamentales: geométrico, algebraico, mixtos, vectorial y analítico.
- [Cuatro problemas propuestos para nuestros lectores](https://www.revista-matematica.com/cuatro-problemas-propuestos-para-nuestros-lectores/): Hola a todos. Hoy vamos a proponer 4 problemas sencillos para que nos envíen sus soluciones. Recuerden que pueden usar formato de \(\LaTeX\) en sus comentarios. 1. Probar que si un número de 3 cifras (\(abc\)) es divisible entre 27, entonces 27 divide al número (\(cab\)). 2. Determine un entero positivo \(n\) sabiendo que la suma de todos los posibles restos diferentes que quedan al dividir entre \(n\) es igual a 210. 3. Expresar el número 192 en cuatro sumandos tales que restando 7 al primero, sumando 7 al segundo, multiplicando 7 al tercero y dividiendo por 7 al cuarto, […]
- [¿Cuál número es el mayor?](https://www.revista-matematica.com/cual-numero-es-el-mayor/): Problema Resuelto. De los números \[ x = (16806)^{789} \]\[ y = (344)^{1315} \] ¿cuál es el mayor? Previos: \( (i) \) \( 343 = 7^3 \) \( (ii) \) \( 16807 = 7^5 \) \( (iii) \) \( (a+b)^n = a^n + bx \); \( \forall a, n, b, x \in \mathbb{Z} \) Solución: \[ y = (344)^{1315} = (343 + 1)^{1315} = (7^3 + 1)^{1315} \] Aplicando el previo \( (iii) \): \[ y = 7^{3945} + k; \forall k \in \mathbb{Z}^+ \]\[ \Rightarrow y > 7^{3945} \] De manera análoga: \[ x = (7^5 – 1)^{789} \] […]
- [Logaritmos y un problema que no he podido resolver](https://www.revista-matematica.com/logaritmos-y-un-problema-que-no-he-podido-resolver/): Hola amigos. Hace ya un par de meses, mi gran amigo Miguel Arias me propuso un problema relacionado con logaritmos. Luego de unos días sin poder encontrar la solución, dejé el problema de lado. Ahora como parte de mi esfuerzo por retomar este blog, quisiera que veamos la teoría básica de los logaritmos, y a la vez poner el reto para ver si algún lector tiene una solución para el problema en cuestión. Introducción El logaritmo de un número —en una base determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el […]
- [Ahora nuestro sitio web funciona con MathJax](https://www.revista-matematica.com/ahora-nuestro-sitio-web-funciona-con-mathjax/): Como parte de los trabajos de reactivación del sitio web, hemos eliminado el plugin que se encargaba de convertir las fórmulas de \( \LaTeX \) a imágenes, y lo hemos sustituido por Simple MathJax, que se conecta con un servidor externo para hacer uso de la librería de JavaScript MathJax. La interpretación de las fórmulas ahora se realiza en el lado del usuario, y produce resultados excelentes en todos los navegador actuales. Esta librería no produce imágenes, sino contenido visible para las herramientas de búsqueda. El visitante deberá aguardar unos segundos mientras se realiza el renderizado de las fórmulas. Haciendo […]
- [Cinco problemas sencillos para pensar un rato](https://www.revista-matematica.com/cinco-problemas-sencillos-para-pensar-un-rato/): Esta vez les propongo cinco problemas entretenidos que encontré en el excelente libro de Alberto Coto, Fortalece tu Mente. Recomiendo visitar el sitio web http://www.albertocoto.com/ para más información. 1. Hay que utilizar ocho 8 y obtener 1000 como resultado, aplicando únicamente las operaciones matemáticas básicas (suma, resta, multiplicación y división). Se puede usar paréntesis. 2. Este es un clásico: similar al problema anterior, pero usado cuatro 4, se debe obtener los resultados del 0 al 10. 3. ¿Qué tal llegar al resultado 100 usando los números del 1 al 9 colocados en orden (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, […]
- [Juegos de Lógica e Ingenio](https://www.revista-matematica.com/juegos-del-logica-e-ingenio/): Hoy proponemos cinco juegos de lógica (algunos de ellos bien conocidos) que sirven para despertar nuestras neuronas. Esperamos recibir comentarios con los argumentos lógicos que resuelven la situación planteada. 1. Un barquero tiene que atravesar un río en su pequeña barca llevando consigo un lobo, una oveja y un repollo. Pero en cada viaje sólo caben o él y el lobo, o él y la oveja, o él y el repollo. Además, en ningún caso puede dejar solos en la orilla al lobo y a la oveja (el primero se comería a la segunda), ni a la oveja y el […]
- [Conjuntos y Operaciones Sobre Ellos](https://www.revista-matematica.com/conjuntos-y-operaciones-sobre-ellos/): Por conjunto se entiende cualquier colección de objetos que tienen una característica en común, llamados elementos. La notación \( a \in A\) significa que el objeto \( a\) es un elemento del conjunto \( A\) (pertenece al conjunto \( A\)); en el caso contrario se escribe \( a \not \in A\). Un conjunto que no contiene ningún elemento, se denomina vacío y se designa por el símbolo \( \emptyset \). La notación \( A \subset B\) (\( A\) está contenido en \( B\)) quiere decir que todo elemento del conjunto \( A\) es un elemento del conjunto \( B\); en […]
- [Cinco problemas propuestos](https://www.revista-matematica.com/cinco-problemas-propuestos/): A continuación cinco problemas propuestos, cuya solución no es muy complicada, y pueden usarse para despertar el interés en los muchachos que se inician en los procesos de Olimpiadas de Matemática: Problema 1. A una conferencia asisten 47 personas. Una mujer conoce 16 de los hombres presentes, otra conoce 17, y así sucesivamente hasta la última mujer quien conoce a todos los hombres presentes. Determine el número de hombres y mujeres presentes en la conferencia. (2° Olimpiada Matemática de Vietnam, 1963). . Problema 2. Amy, Bart y Carol están comiendo zanahorias. Amy comió la mitad de las que comió Bart, […]
- [Ecuaciones Cúbicas](https://www.revista-matematica.com/ecuaciones-cubicas/): Una ecuación cúbica a la cual le falta el término cuadrático, se llamará ecuación reducida, y puede expresarse de la forma: \[ \label{cub:eq1} \tag{1} y^3 – 3ay – 2b = 0 \] Toda ecuación cúbica en forma general, es decir, de la forma: \[ \label{cub:eq2} \tag{2} x^3 + cx^2 + dx + e = 0 \] se puede expresar en forma reducida sustituyendo la variable \( x\) por otra variable aumentada en el tercio del coeficiente del término cuadrático, tomado con signo opuesto. Es decir: \[ \displaystyle { x = y – \frac{c}{3} } \] Sustituyendo en \eqref{cub:eq2} se obtiene: […]
- [Varios Problemas Sobre Divisibilidad](https://www.revista-matematica.com/varios-problemas-sobr-divisibilidad/): Hoy publicamos algunos problemas resueltos sobre divisibilidad, para los cuales aplicamos diversos métodos. Pero antes, citamos algunos resultados importantes que pueden servir como previos para la resolución de estos problemas..   Previos i. Para \( a, b, c \in \mathbb{Z}\), si \( a \mid b \Rightarrow a \mid bc\). ii. Para \( a, b, c, m \in \mathbb{Z}\), si \( a = b \cdot c; b \mid m, c \mid m \Rightarrow a \mid m\). iii. Para \( a, b, c \in \mathbb{Z}\), si \( a \mid b, c \mid b, mcd(a, c)=1 \Rightarrow ac \mid b\). iv. Sean \( […]
- [Cinco Problemas Sobre Divisibilidad](https://www.revista-matematica.com/cinco-problemas-sobre-divisibilidad/): Ahora es el turno de la Teoría de Números. Proponemos estos 5 problemas relacionados con divisibilidad. Posteriormente estaremos publicando las soluciones, pero sería bueno contar con aportes de los lectores. Problema 1. Demuestre que para cualquier entero positivo \( n\), el número \[ (n^3 – n)(5^{8n + 4} + 3^{4n + 2}) \] es múltiplo de \( 3804\). (I Olimpiada Mexicana de Matemáticas, 1987). . Problema 2. Pruebe que \( 2^n \cdot 3^{2n} – 1\) es siempre divisible por \( 17\) para todo \( n\) natural. (Concurso de problemas J.I.R Mc Knight, 1992). . Problema 3. Encuentra todos los números […]
- [Cuatro Problemas de Lógica y Matemática Recreativa](https://www.revista-matematica.com/cuatro-problemas-de-logica-y-matematica-recreativa/): Acá tenemos cuatro problemas propuestos de lógica y matemática recreativa. Este tipo de problema es especialmente útil para despertar la curiosidad y el interés en los estudiantes jóvenes. Están invitados a dejar sus comentarios con los razonamientos que conlleven a la solución lógica. Problema 1. En una isla hay tres tipos de habitantes: los caballeros que siempre dicen la verdad; los escuderos, que siempre mienten; y las personas normales, que unas veces mienten y otras dicen la verdad. De las tres personas A, B y C, una es caballero, otra escudero y la tercera normal, pero no necesariamente en ese […]
- [Desigualdades Elementales](https://www.revista-matematica.com/desigualdades-elementales/): Definiciones Media Aritmética La media aritmética de un conjunto \( {x_1, x_2, \cdots ,x_n} \in \mathbb{R}^+\), es igual a la suma dividida por el número total de elementos, \[ \displaystyle \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \] Media Geométrica La media geométrica de un conjunto \( {x_1, x_2, \cdots , x_n} \in \mathbb{R}^+\), es igual a la raíz n-ésima del producto de todos ellos. \[ \displaystyle \sqrt[n]{x_1x_2 \cdots x_n} \] Media Armónica La media armónica de un conjunto \( {x_1, x_2 , \cdots , x_n} \in \mathbb{R}^+\), es igual al número total de elementos dividido entre la suma de […]
- [4 Teoremas Útiles en la Resolución de Problemas Geométricos](https://www.revista-matematica.com/4-teoremas-utiles-en-la-resolucion-de-problemas-geometricos/): A continuación presentamos 4 teoremas que nos ayudarán a resolver muchos problemas de geometría que aparecen en las etapas eliminatorias de las Olimpiadas de Matemática. (Esta entrada participa en el «Carnaval de Matemáticas» y cuyo blog anfitrión es Gaussianos). 1. Teorema de Ptolomeo. En todo cuadrilátero inscribible en una circunferencia (cíclico), la suma de los productos de los pares de lados opuestos es igual al producto de sus diagonales. En la figura siguiente: tendríamos que \[AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD \] Demostración: Considere la siguiente figura: Sea \( E\) sobre la diagonal \( AC\) […]
- [10 Ejemplos de Demostraciones por Inducción](https://www.revista-matematica.com/10-ejemplos-de-demostraciones-por-induccion/): Anteriormente presentamos una breve explicación del Método de Inducción Matemática. En esta ocasión vamos a exponer 10 ejemplos de problemas resueltos utilizando este método, con el fin de ilustrar un poco más los alcances de este recurso. (Esta entrada participa en el «Carnaval de Matemáticas» cuyo blog anfitrión es Gaussianos). Problema 1. Demostrar que si \( n\) es un número entero positivo, entonces \( 4^n+15n-1\) es múltiplo de \( 9\). Solución: a) Primeramente, si \( n=1\) entonces: \( 4^1+15(1)-1=18\) y como \( 9 \mid 18\) se tiene que la afirmación es cierta. b) Asumimos como hipótesis de inducción que \( […]
- [Aplicando las reglas de divisibilidad](https://www.revista-matematica.com/aplicando-las-reglas-de-divisibilidad/): Todos los números de dos dígitos desde \( 19\) hasta \( 80\) son escritos en una sola fila. El resultado es leído como el número \[ 1920212223 \ldots 77787980 . \] Pruebe que dicho número es divisible por \( 1980\). Solución: Como \( 1980 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11\), necesitamos probar que el número formado es divisible por \( 4\), \( 9\), \( 5\) y \( 11\). Los dos últimos dígitos son \( 8\) y \( 0\), así que el número es divisible por \( 4\) y \( 5\). La suma de los dígitos en posición impar […]
- [Un polinomio de segundo grado](https://www.revista-matematica.com/un-polinomio-de-segundo-grado/): \( G(x)\) es un polinomio de segundo grado tal que \[ G\left(x+\frac{1}{2} \right)-G\left(x-\frac{1}{2} \right) = 4 \left(2x-1\right) \forall x \in \mathbb{R} \] Encuentre el valor mínimo de \( G(x)\) si \( G(0)=5\). Solución: Sea \( G(x)=ax^{2}+bx+c\), como \( G(0)=5\) entonces \( c=5\) de donde \( G(x)=ax^{2}+bx+5\). Por otro lado, siendo \[ G\left(x+\frac{1}{2} \right)-G\left(x-\frac{1}{2} \right)= 8x-4 \] entonces \[ \small{ \left[\mathop{a\left(x+\frac{1}{2} \right)}\nolimits^{2} +\mathop{b\left(x+\frac{1}{2} \right)}\nolimits^{} +5\right]-\left[\mathop{a\left(x-\frac{1}{2} \right)}\nolimits^{2} +\mathop{b\left(x-\frac{1}{2} \right)}\nolimits^{} +5\right] = 8x-4 } \] de donde, al efectuar las operaciones indicadas y reducir al máximo, se obtiene \( 2ax+b=8x-4\) con lo que, al aplicar identidad polinomial, se tiene \( a=4\), \( b=-4\) […]
- [Tres problemas resueltos](https://www.revista-matematica.com/tres-problemas-resueltos/): Hoy presentamos tres problemas resueltos. Recomendamos analizar con cuidado los pasos intermedios para acostumbrarse a aplicarlos en problemas similares. 1. Pruebe que el sistema de ecuaciones \( x + y = 1\), \( x^2 + y^2 = 2\), \( x^3 + y^3 = 3\) no tiene solución. Solución: De \( x + y = 1\) se obtiene \( (x + y)^2 = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 – 2xy\). Sustituyendo este resultado en \( x^2 + y^2 = 2\) obtenemos \( 1 – 2xy = 2 \Rightarrow xy = \frac{-1}{2}\). Si \( x^3 + y^3 = 3\) entonces […]
- [Binomio de Newton](https://www.revista-matematica.com/binomio-de-newton/): A los desarrollos de las expresiones del tipo \( (a \pm b)^n\) se les conoce como binomio de Newton. La demostración de las siguientes propiedades es bastante sencilla, basta con conocer el desarrollo del binomio y obtener el factor común requerido en cada una de las partes de las propiedades mencionadas. \( (a + b)^n\) equivale a las expresiones \( ak + b^n\); para algún \( k \in \mathbb{Z}\). \( a^n + bk_1\); para algún \( k_1 \in \mathbb{Z}\). \( a^n + b^n + abk_2\); para algún \( k_2 \in \mathbb{Z}\). \( (a – b)^n\) equivale a las expresiones \( […]
- [Desigualdad de Bernoulli](https://www.revista-matematica.com/desigualdad-de-bernoulli/): La siguiente desigualdad se aplica frecuentemente en la solución de problemas. Si \( x \geq -1\) y \( 0 \leq \alpha \leq 1\) entonces \[ (1 + x)^\alpha \leq 1 + \alpha x \] En cambio, si \( \alpha < 0\) o bien si \( \alpha > 1\), se tiene \[ (1 + x)^ \alpha \geq 1 + \alpha x \] El signo de igualdad en ambos casos se cumple sólo para \( x = 0\). Para una demostración de este teorema puede descargar el siguiente documento en formato PDF:
- [Criterios de Divisibilidad](https://www.revista-matematica.com/criterios-de-divisibilidad/): Se ofrece la demostración de 4 de estos criterios, y se deja al lector como ejercicio probar los otros 7. Por 2: un número entero es divisible por 2 cuando el dígito de sus unidades es un número par. Por 3: un número entero es divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos es divisible por 3. Por 4: un número entero es divisible por 4 cuando el número formado por los últimos dos dígitos del número entero es divisible por 4. Prueba: Todo número expresado en base diez tiene la forma \[ N = a_0 +10a_1 + 10^2a_2 […]
- [Ley de Cosenos](https://www.revista-matematica.com/ley-de-cosenos/): Dado el triángulo \( \Delta ABC\) tal que \( BC = a\), \( AB = c\) y \( AC = b\) tal como lo indica la siguiente figura: entonces \[ a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos \angle BAC\] \[ b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos \angle ABC\] \[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \angle ACB\] esto es, el cuadrado de la longitud de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados disminuidos en el doble producto de dichas longitudes y […]
- [Inducción Matemática](https://www.revista-matematica.com/induccion-matematica/): En algunas ocasiones, es necesario demostrar que \( P(n)\), una proposición abierta, es válida para todos los números naturales (o para algún subconjunto infinito de \( \mathbb{N}\)); para ello, se debe probar que la proposición dada es verdadera para cada uno de los elementos de \( \mathbb{N}\) (o del subconjunto involucrado). Claro que, por tratarse de conjuntos infinitos de números naturales, esta afirmación no siempre es fácil de probar. Para resolver este tipo de problemas se utiliza el llamado método de inducción matemática. Definición La inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que […]
- [Congruencias](https://www.revista-matematica.com/congruencias/): Dados dos números \( a\) y \( b\), y un entero positivo \( n\), definimos \( a \equiv b \pmod n\) (léase: \( a\) congruente con \( b\) módulo \( n\)) si \( n\) divide a la diferencia \( a - b\)
- [Fórmulas de Vieta](https://www.revista-matematica.com/formulas-de-vieta/): Sean el polinomio \[ P(x) = a_nx^n + a_{n – 1}x^{n – 1} + a_{n – 2}x^{n – 2} + \ldots + a_1x + a_0 \] y \( x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n \) sus ceros entonces: \[ x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_n = -a_{n – 1}/a_n \] \[ x_1 x_2 + x_1 x_3 + \ldots + x_1 x_n + \ldots + x_{n – 1} x_n = a_{n – 2}/a_n \] \[ x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + \ldots + x_1 x_2 x_n + \ldots + x_{n – 2} x_{n – 1} x_n = […]
- [Identidad Polinomial](https://www.revista-matematica.com/identidad-polinomial/): En términos generales, la identidad polinomial podemos enunciarla así: Sean los polinomios \[ P(x) = a_nx^n + a_{n – 1}x^{n – 1} + a_{n – 2}x^{n – 2} + \ldots + a_1x + a_0 \] \[ Q(x) = b_nx^n + b_{n – 1}x^{n – 1} + b_{n – 2}x^{n – 2} + \ldots + b_1x + b_0 \] Si estos polinomios son idénticos, entonces: \[ a_n = b_n \] \[ a_{n – 1} = b_{n – 1} \] \[ a_{n – 2} = b_{n – 2} \] \[ \ldots \] \[ a_1 = b_1 \] \[ a_0 = b_0 \]
- [Problema Resuelto](https://www.revista-matematica.com/problema-resuelto/): Si \( \tan x + \tan y = 25\) y \( \cot x + \cot y = 30\). ¿Cuál es el valor numérico de \( \tan(x + y)\)? Solución: Como \( \tan x + \tan y = 25\), entonces, de \( \cot x + \cot y = 30\) se tiene: \[ \Rightarrow \frac{\tan x+\tan y}{\tan x\tan y} = 30 \] de donde \[ \tan x\tan y=\frac{5}{6} \] Luego, \[ \tan \left(x+y\right)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y} \Rightarrow \tan \left(x+y\right)=\frac{25}{1-\frac{5}{6} } = 150 \]
- [Dos Problemas Propuestos](https://www.revista-matematica.com/dos-problemas-propuestos/): Acá tenemos 2 problemas interesantes de teoría de números que planteamos a nuestros lectores. Esperamos sus comentarios o emails con las soluciones. Problema 1. Determine el valor de la suma: \[ 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + \cdots + 100 \cdot 2^{99} . \] Problema 2. Determine si los siguientes números son iguales o cuál es el mayor de ellos: \( A = \sqrt[3]{\sqrt[3]{2} – 1} \) ó \(B = \sqrt[3]{\frac{1}{9}} – \sqrt[3]{\frac{2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}} \) .
- [WP Latex Math](https://www.revista-matematica.com/wp-latex-math/): Plugin de Wordpress: WP Latex Math
- [Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827)](https://www.revista-matematica.com/pierre-simon-laplace-1749-1827/): Pierre-Simon Laplace nació el 28 de Marzo de 1749 en Beaumont-en-Auge, Francia y murió el 5 de Marzo de 1827 en París.
- [Euler Leonhard (1707 - 1783)](https://www.revista-matematica.com/euler-leonhard-1707-1783/): Matemático suizo, nacido en Basilea y fallecido en San Petersburgo.
- [Transcripción de la Presentación Original](https://www.revista-matematica.com/transcripcion-de-la-presentacion-original/): Copia de la presentación oficial de la Revista Olímpica de Matemáticas, que se publicó a inicios del año 2006.

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