Sea \( ABC \) un triángulo equilátero de lado \( 2 \). Sea \( P \) un punto interior tal que las distancias de \( P \) a los lados \( BC \), \( CA \) y \( AB \) son respectivamente \( d_a \), \( d_b \) y \( d_c \).
Demuestra que:
\[
d_a + d_b + d_c = \sqrt{3}.
\]
1 Respuesta
Solución:
Recordemos que la suma de las distancias desde un punto interior a los lados de un triángulo equilátero es constante y depende únicamente del área del triángulo.
El área de un triángulo también puede expresarse como la suma de las áreas de los tres triángulos formados por el punto interior y los lados del triángulo principal.
Así:
\[
\text{Área total} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot d_a + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot d_b + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot d_c = d_a + d_b + d_c.
\]
Por otro lado, el área de un triángulo equilátero de lado \( 2 \) es:
\[
\text{Área} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2^2 = \sqrt{3}.
\]
Por lo tanto:
\[
d_a + d_b + d_c = \sqrt{3}.
\]
Respuesta:
La suma de las distancias desde un punto interior a los lados de un triángulo equilátero de lado 2 es \( \boxed{\sqrt{3}} \).