Demuestra que para todo par de números reales positivos \( a \) y \( b \), se cumple la desigualdad:
\[
\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab},
\]
y que la igualdad se da si y solo si \( a = b \).
1 Respuesta
Solución:
Partimos de una identidad algebraica fundamental. Como todo número real al cuadrado es no negativo, tenemos:
\[
(a – b)^2 \geq 0.
\]
Desarrollamos el cuadrado:
\[
a^2 – 2ab + b^2 \geq 0.
\]
Sumamos \( 4ab \) a ambos lados:
\[
a^2 + 2ab + b^2 \geq 4ab.
\]
El lado izquierdo es un trinomio cuadrado perfecto:
\[
(a + b)^2 \geq 4ab.
\]
Tomamos raíz cuadrada en ambos lados (como ambos lados son positivos):
\[
a + b \geq 2\sqrt{ab}.
\]
Dividimos entre 2:
\[
\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}.
\]
La igualdad se da si y sólo si \( (a – b)^2 = 0 \), es decir, cuando \( a = b \).
Respuesta:
Se cumple que \( \boxed{\dfrac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}} \), con igualdad si y sólo si \( a = b \).