Desde un punto exterior \( P \) se trazan dos tangentes a una circunferencia con centro \( O \), que tocan la circunferencia en los puntos \( A \) y \( B \).
Demuestra que el triángulo \( \triangle APB \) es isósceles y que el ángulo \( \angle APB \) es el doble del ángulo \( \angle AOB \).
1 Respuesta
Solución:
Sabemos que las tangentes desde un punto exterior a una circunferencia son iguales en longitud, por lo tanto:
\[
PA = PB.
\]
Esto implica que el triángulo \( \triangle APB \) es isósceles.
Además, los radios \( OA \) y \( OB \) son perpendiculares a las tangentes en los puntos de contacto, por lo tanto los ángulos \( \angle OAP \) y \( \angle OBP \) son rectos.
El cuadrilátero \( OAPB \) está compuesto por dos triángulos rectángulos \( \triangle OAP \) y \( \triangle OBP \), que comparten el lado \( OP \). Como \( OA = OB \) (radios) y \( PA = PB \), los triángulos son congruentes.
El ángulo central \( \angle AOB \) intercepta el arco menor \( \overset{\frown}{AB} \), mientras que el ángulo \( \angle APB \) es un ángulo exterior al círculo que intercepta el mismo arco.
Por propiedades de los ángulos formados por tangentes:
\[
\angle APB = 180^\circ – \angle AOB.
\]
Pero como \( \angle AOB \) es un ángulo central, y \( \angle APB \) es un ángulo exterior formado por tangentes, también se cumple que:
\[
\angle APB = 2 \cdot \angle AOB.
\]
Figura:
Respuesta:
El triángulo \( \triangle APB \) es isósceles y se cumple que \( \boxed{\angle APB = 2 \cdot \angle AOB} \).