Ahora es el turno de la Teoría de Números. Proponemos estos 5 problemas relacionados con divisibilidad. Posteriormente estaremos publicando las soluciones, pero sería bueno contar con aportes de los lectores.
Problema 1. Demuestre que para cualquier entero positivo \( n\), el número
\[ (n^3 – n)(5^{8n + 4} + 3^{4n + 2}) \]
es múltiplo de \( 3804\).
(I Olimpiada Mexicana de Matemáticas, 1987).
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Problema 2. Pruebe que \( 2^n \cdot 3^{2n} – 1\) es siempre divisible por \( 17\) para todo \( n\) natural.
(Concurso de problemas J.I.R Mc Knight, 1992).
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Problema 3. Encuentra todos los números primos positivos \( p\) tales que \( 8p^4 – 3003\) también sea un primo positivo.
(XI Olimpiada Nacional de Matemáticas de México, noviembre de 1997).
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Problema 4. Si \( n\) es un número natural impar mayor que \( 2\), demuestre que \( n(n^2 – 1)\) es divisible por \( 24\).
(CEOC, 1992).
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Problema 5. Determine el mayor natural \( k\) para el cual existe un entero \( n\) tal que \( 3k\) divide \( n^3 – 3n^2 + 22\).
Problema 1.
El número 3804 se puede expresar como \( 4\times 3\times 317=6\times 634 \).
La expresión \( (n^3-n)=n(n^2-1)=n(n+1)(n-1) \).
Como es una multiplicación de tres números consecutivos es múltiplo de 3. Además, \( n(n+1) \) es una expresión par, por lo que la expresión \( (n^3-n) \) es múltiplo de 6.
La expresión \( (5^{8n+4}+3^{4n+2})=(5^{4(2n+1)}+3^{2(2n+1)}) \)
Se observa que \( 2n+1 \) es impar. Reemplazándolo por \( x \). Se tiene:
\( (5^{4x}+3^{2x}) \). Como \( x \) es impar, se cumple que \( 5^4+3^2|5^{4x}+3^{2x} \).
Pero \( 5^4+3^2=634 \). Por lo tanto \( (n^3-n)(5^{8n+4}+3^{4n+2})=3804(mn) \), demostrando lo pedido.
Está bien resuelto?
Felicitaciones por la página, está perfecta y me está sirviendo mucho para prepararme para las olimpíadas.
Problema 2.
Dado que \( 17=2\cdot 3^2-1 \), entonces por la propiedad que dice que \( x-y|x^n-y^n \), tenemos que \( 2\cdot 3^2-1|2^n\cdot 3^{2n}-1^n \), demostrando lo pedido.
Problema 3.
Por paridad sabemos que \( p \) no puede ser 2, entonces \( p \) debe ser impar. Las terminaciones de cuadrados perfectos impares son 1,5,9. Elevando al cuadrado se observa que las terminaciones se reducen a 1 y 5. Por lo tanto \( p^4 \) termina en 1 o 5, pero la terminación 5 de los cuadrados perfectos corresponden a los múltiplos de 5, por lo tanto si \( p \) es primo, entonces para que termine en 5 debe ser el 5 solamente, de lo contrario se podría dividir por 5 y sería compuesto.
Caso 1: \( p^4 \) termina en 1: entonces \( 8p^4 \) termina en 8, al restarle 3003, entonces termina en 5 y por lo tanto es compuesto.
Caso 2: \( p^4 \) termina en 5: entonces \( p \) es 5 y \( 8p^4-3003=1997 \) que es primo y constituye el único caso.
El problema 3 me costó bastante, me podrían decir si está bien?