La siguiente desigualdad se aplica frecuentemente en la solución de problemas.
Si \( x \geq -1\) y \( 0 \leq \alpha \leq 1\) entonces
\[ (1 + x)^\alpha \leq 1 + \alpha x \]
En cambio, si \( \alpha < 0\) o bien si \( \alpha > 1\), se tiene
\[ (1 + x)^ \alpha \geq 1 + \alpha x \]
El signo de igualdad en ambos casos se cumple sólo para \( x = 0\).
Para una demostración de este teorema puede descargar el siguiente documento en formato PDF:
Desigualdad de Bernoulli (176,7 KiB, 2.018 hits)
Me gustaría señalar un pequeño error en el documento Desigualdad de Bernoulli, en el Problema 1:
Cuando dice «Multiplicando por \(n^{\alpha +1}\)» no se ha multiplicado en ambos lados de la desigualdad. Debería haber quedado de esta forma: \(\left (n+1\right )^{\alpha +1} < n^{\alpha +1}+\left (\alpha +1\right)n^{\alpha}\) y \(\left (n-1\right )^{\alpha +1} < n^{\alpha +1}-\left (\alpha +1\right)n^{\alpha}\)