En algunas ocasiones, es necesario demostrar que \( P(n)\), una proposición abierta, es válida para todos los números naturales (o para algún subconjunto infinito de \( \mathbb{N}\)); para ello, se debe probar que la proposición dada es verdadera para cada uno de los elementos de \( \mathbb{N}\) (o del subconjunto involucrado).

Claro que, por tratarse de conjuntos infinitos de números naturales, esta afirmación no siempre es fácil de probar. Para resolver este tipo de problemas se utiliza el llamado método de inducción matemática.

Definición

La inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro \( n\) que toma una infinidad de valores enteros. En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento:

  • Premisa mayor: El número entero \( a\) tiene la propiedad \( P\).
  • Premisa menor: El hecho de que cualquier número entero \( n\) tenga la propiedad \( P\) implica que \( n + 1\) también la tiene.
  • Conclusión: Todos los números enteros mayores que \( a\) tienen la propiedad \( P\).

Podemos resumirlo de la siguiente manera: para demostrar que una proposición de la forma \( (\forall n \in \mathbb{N}; n \ge a)[P(n)]\) es verdadera, basta demostrar que:

  • \( P(a)\) es verdadera.
  • Si \( P(n)\) es verdadera, entonces \( P(n+1)\) es verdadera.

Ejemplo

Demostrar que para todo \( n \ge 1\), \( 6^n\) es un número que acaba en \( 6\).

Sea \( P(n)\) la proposición: «\( 6^n\) acaba en \( 6\)».

  • Es claro que \( P(1)\) es cierto, porque \( 6^1 = 6\).
  • Supongamos que \( P(n)\) es cierto para un valor de \( n\) natural, y probemos \( P(n+1)\).

Un entero acaba por \( 6\) si se puede escribir así: \( 10a + 6\), con \( a\) entero positivo o igual a cero. La hipótesis es, pues, \( 6^n = 10a + 6\).

Entonces:

\[ \small{ 6^{n + 1} = 6(10a + 6) = 60a + 36 = 60a + 30 + 6 = 10(6a + 3) + 6 = 10c + 6 } \]

con \( c = 6a + 3\), entero.

Esta última escritura prueba que \( 6^{n + 1}\) acaba por \( 6\), o sea que \( P(n+1)\) es cierto.

Luego \( P(n)\) es cierto para todo \( n \ge 1\).