Hola amigos.

Hace ya un par de meses, mi gran amigo Miguel Arias me propuso un problema relacionado con logaritmos.

Luego de unos días sin poder encontrar la solución, dejé el problema de lado. Ahora como parte de mi esfuerzo por retomar este blog, quisiera que veamos la teoría básica de los logaritmos, y a la vez poner el reto para ver si algún lector tiene una solución para el problema en cuestión.

Introducción

El logaritmo de un número —en una base determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: \( 1000 = 10^3 = 10×10×10 \).

De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la potenciación de la base del logaritmo.

Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura \( log \) y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, \( 3^5 = 243 \) luego \( \log_3 243 = 5 \). Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.

Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron rápidamente adoptados por científicos, ingenieros, y otros para realizar operaciones más fácilmente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores.

La noción actual de los logaritmos viene de Leonhard Euler, quien conectó estos con la función exponencial en el siglo XVIII.

Definición

Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento.

\[ \log_b x = n\Leftrightarrow\ x = b^n\ \]

Esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; sí y sólo si b elevado a la n da por resultado a x.

Para que la definición sea válida, no todas las bases y números son posibles. La base b tiene que ser positiva y distinta de 1, luego \( b > 0 \) y \( b \neq 1 \), x tiene que ser un número positivo \( x > 0\) y n puede ser cualquier número real \( (n \in \mathbb{R}) \).

Así, en la expresión \( 10^2 = 100 \), el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como \( \log_{10} 100 = 2 \).

Propiedades Generales

Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes que los caracterizan.

  • El logaritmo de su base es siempre 1: \( \log_b b = 1 \) ya que \( b^1 = b \).
  • El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base): \( \log_b 1 = 0 \) ya que \( b^0 = 1 \).
  • Si el número real \( a \) se encuentra dentro del intervalo \( 0 < a < 1 \) entonces \( log_b a \) da un valor negativo o se dice que es un logaritmo negativo. Es evidente, ya que si logaritmo de 1 es cero, entonces valores reales menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente y cuyo recorrido es \( (-∞, +∞) \). También se puede demostrar usando la identidad logarítmica \( \log_b(x/y) = \log_b x – \log_b y \); puesto que \( a \) pertenece al intervalo \( 0 < a < 1 \), su inverso \( a – 1 \) será mayor que uno, con lo que \( \log_b(a) = \log_b (1/a-1) = \log_b 1 – \log_b(a-1) = -\log_b (a-1) \).
  • Los números negativos no tienen logaritmo en el cuerpo de los reales \( \mathbb{R} \), ya que cualesquiera que sea el exponente \( n \), se tendrá siempre que \( b^n \) será mayor que cero, \( b^n > 0 \); en consecuencia, no hay ningún valor real de \( n \) que pueda satisfacer \( b^n = x \) cuando \( x \) sea menor que 0. Sin embargo, este obstáculo se puede salvar, ampliando el dominio de definición al cuerpo de los números complejos \( \mathbb{C} \), pudiendo calcular logaritmos de números negativos usando el logaritmo complejo o recurriendo a la fórmula de Euler.
  • Las potencias consecutivas de una base forman una progresión geométrica y la de los exponentes una progresión aritmética. Por ejemplo, las potencias de \( 2 \) son \(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64… \) etc y sus exponentes serán \( 0, 1, 2, 3, 4… \) etc, ya que \( 2^0 = 1 \), \( 2^1 = 2 \), \( 2^2 = 4 \), \( 2^3 = 8 \), y \( 2^4 = 16 \), etc. Luego \( \log_2 1 = 0 \), \( \log_2 2 = 1 \), \( \log_2 4 = 2 \), \( \log_2 8 = 3 \) y \( \log_2 16 = 4 \), etc.

Identidades Logarítmicas

Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:

  • El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
    \[ \log_b(x y) = \log_b(x) + \log_b(y) \]

  • El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
    \[ \log_b \left ( \frac{x}{y} \right ) = \log_b(x) – \log_b(y) \]

  • El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.
    \[ \log_b(x ^ y) = y \log_b(x) \]

  • El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.
    \[ \log_b(\sqrt[y]{x}) = \frac{\log_b(x)}{y} \]

En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, puesto que \( \sqrt[y]{x} = x^\frac{1}{y} \).

Cambio de Base

Es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto b como k son diferentes de 1):

\[ \log_b(x) = \frac {\log_k(x)}{\log_k(b)} \]

en la que k es cualquier base válida. Si hacemos \( k = x \), obtendremos:

\[ \log_b(x) = \frac {1}{\log_x(b)} \]

Problema Propuesto

Acá está el problema del cuál les hablaba al principio del artículo. Se trata de resolver la siguiente ecuación:

\[ \log_3(x) + \log(x-8) = 2 \]