Hoy presentamos tres problemas resueltos. Recomendamos analizar con cuidado los pasos intermedios para acostumbrarse a aplicarlos en problemas similares.

1. Pruebe que el sistema de ecuaciones \( x + y = 1\), \( x^2 + y^2 = 2\), \( x^3 + y^3 = 3\) no tiene solución.

Solución:

De \( x + y = 1\) se obtiene \( (x + y)^2 = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 – 2xy\). Sustituyendo este resultado en \( x^2 + y^2 = 2\) obtenemos \( 1 – 2xy = 2 \Rightarrow xy = \frac{-1}{2}\). Si \( x^3 + y^3 = 3\) entonces \( (x + y)(x^2 – xy + y^2) = 3 \Rightarrow 1 \left(2+\frac{1}{2}\right) = 3 \Rightarrow \frac{5}{2} = 3\) lo cual es absurdo. Por lo tanto, el sistema dado no tiene solución.

2. Simplifique al máximo la expresión

\[ \frac{\left(\mathop{2}\nolimits^{3}-1\right)\left(\mathop{3}\nolimits^{3}-1\right)\left(\mathop{4}\nolimits^{3}-1\right)\cdots \left(\mathop{99}\nolimits^{3}-1\right)\left(\mathop{100}\nolimits^{3}-1\right)}{\left(\mathop{2}\nolimits^{3}+1\right)\left(\mathop{3}\nolimits^{3}+1\right)\left(\mathop{4}\nolimits^{3}+1\right)\cdots \left(\mathop{99}\nolimits^{3}+1\right)\left(\mathop{100}\nolimits^{3}+1\right)} \]

Factorizando la expresión dada es equivalente a

\[ \scriptsize{ \frac{\left(2-1\right)\left(\mathop{2}\nolimits^{2} +2+1\right)\left(3-1\right)\left(\mathop{3}\nolimits^{2} +3+1\right) \cdots \left(99-1\right)\left(\mathop{99}\nolimits^{2} +99+1\right)\left(100-1\right)\left(\mathop{100}\nolimits^{2} +100+1\right)}{\left(2+1\right)\left(\mathop{2}\nolimits^{2} +2-1\right)\left(3+1\right)\left(\mathop{3}\nolimits^{2} -3+1\right) \cdots \left(99+1\right)\left(\mathop{99}\nolimits^{2} -99+1\right)\left(100+1\right)\left(\mathop{100}\nolimits^{2} -100+1\right)} } \]

como \( ((n + 2) – 1) = n + 1\) y \( (n + 1)^2 – (n + 1) + 1 = n^2 + n + 1\), cancelando se tiene

\[ \frac{\left(2-1\right)\left(3-1\right)\left(\mathop{100}\nolimits^{2} +100+1\right)}{\left(\mathop{2}\nolimits^{2} -2+1\right)\left(99+1\right)\left(100+1\right)} = \frac{10101}{15150} =\frac{3367}{5050} \]

3. Halle el valor de

\[ S = \frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\cdots+\frac{98}{99!}+\frac{99}{100!} . \]

Solución:

Nótese que

\[ \frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!} = \frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)k!} = \frac{(k+1)-1}{(k+1)k!}=\frac{k}{(k+1)!} . \]

Así,

\[ \frac{1}{2!} = \frac{1}{1!}-\frac{1}{2!} \]
\[ \frac{2}{3!} = \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!} \]
\[ \frac{3}{4!} = \frac{1}{3!}-\frac{1}{4!} \]
\[ \cdots \]
\[ \frac{98}{99!} = \frac{1}{98!}-\frac{1}{99!} \]
\[ \frac{99}{100!} = \frac{1}{99!}-\frac{1}{100!} \]

Sumando, miembro a miembro, las igualdades se tiene que

\[ S = 1 -\frac{1}{100!} . \]